ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

LIBRO DIGITAL INTERACTIVO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

LIBRO DIGITAL INTERACTIVO

Valeria Iliana Bertossi
Sonia Pompeya Pastorelli
Eva Silvana Casco

edUTecNe
Buenos Aires, 2019

A Lautaro, por su amorosa paciencia;
a Cristian, por su apoyo incondicional;
y a mis queridos alumnos, que sin ellos no hubiera sido posible esta obra.
Valeria

A Humberto Pampiglioni, mi profesor modelo.
A mis alumnos, que me enseñan constantemente
y son mi fuente de inspiración.
A Virginia y Eduardo De Santis, que día a día me enlazan a lo importante.
A Dios, que guía mis elecciones y me regala la dicha de ser docente.
Sonia

A la U.T.N., que me ha formado y ha puesto en mi camino docentes motivadores,
amantes del Cálculo, que me han transmitido
sus conocimientos, su pasión y dedicación a la labor docente.
A mis hijos, Ma. Pilar y Nicolás, y a Sandro por su comprensión
y apoyo permanente en mi labor; y a mi familia, por estar siempre.
A mis alumnos, motivo por el cual no pierdo el entusiasmo de seguir creciendo,
pues sin ellos no tendría sentido mi trabajo.
Eva

Prólogo

Hoy en día nos encontramos en una sociedad en transformación, con nuevas posibilidades para el acceso al conocimiento y con herramientas que potencian la relación entre los conceptos al momento de aprender. La adaptación de los procesos de enseñanza/aprendizaje a esta sociedad, a sus procesos, a sus nuevas costumbres y requerimientos es un gran desafío que como docentes pretendemos abordar.

La idea de este libro nace a partir de los escritos de la Mg. Ing. Sonia Pastorelli. Y, como en el marco de la cultura del aprendizaje nos encontramos ante la necesidad de brindarle a los jóvenes un nuevo escenario que aproveche las TIC, es así como surge el diseño y programación de un simulador de sistemas dinámicos bidimensionales, DaVinci, como tesis final de la carrera de grado en Ingeniería en Sistemas de Información de la Ing. Valeria Bertossi, que fuera dirigida por la Mg. Ing. Pastorelli. El simulador resultó muy útil a la hora de enseñar y nos motivó, como docentes, a explotar el potencial de las tecnologías emergentes al servicio de diversos propósitos educativos. Por ello nos propusimos un largo camino cuyo

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Índice

1.1. Ecuación Diferencial (ED).20

Solución y tipos de soluciones.23

Ecuación de Abel.25

1.2. Métodos para determinar la solución de una EDO de primer orden.26

1.2.1. EDO de primer orden de variables separables.27

1.2.2. EDO de primer orden homogénea.27

1.2.3. EDO Lineal de primer orden. 29

1.2.4. EDO Exacta de primer orden. 33

1.2.5. EDO de primer orden transformables en exactas. 35

Condición de existencia del factor integrante I(x).35

Condición de existencia del factor integrante I(y).37

1.3. Aplicaciones.40

1.3.1. Trayectorias de flujo.40

1.3.2. Familias ortogonales.41

1.3.3. Circuitos eléctricos.42

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Teorema 10: Método de variación de los parámetros para una
EDO L de orden n. 70

2.3.2. Coeficientes a determinar (o coeficientes indeterminados). 72

Ejercitación propuesta.76

3.1. Resolución de SL EDO por método de eliminación.86

3.2. Resolución de SL EDO usando matriz exponencial.87


3.2.1. Sistemas homogéneos.87

Matriz exponencial 89

Teorema 1: Convergencia de la matriz exponencial 89

Teorema 2: Solución general de un sistema lineal de ecuaciones
diferenciales (forma matricial).90

Teorema 3: Solución particular de un sistema lineal de ecuaciones
diferenciales (forma matricial).91

3.2.1.1. A_s es diagonal.92

3.2.1.2. A_s no es diagonal pero es diagonalizable.92

3.2.1.3. A_s no es diagonalizable.94

3.2.2. Sistemas No Homogéneos.95

13

Fórmula exponencial de un complejo.147

Matriz exponencial.150

Solución de SL EDO de primer orden. As: matriz cuadrada.152

Tabla Resumen.153

Agradecimientos.160

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SECCIÓN I

SECCIÓN I

Ecuación Diferencial Ordinaria
de Primer Orden

SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

1. Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Primer Orden.

En muchos problemas ingenieriles las relaciones entre variables se establecen en función de razones de cambio. Algunos ejemplos son:

En esta sección se formalizará el concepto y se verán técnicas para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales más usadas en ingeniería.

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

Las ED pueden clasificarse según distintos puntos de vista:

a) Según la cantidad de variables independientes

La ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a dicha variable. Ejemplos:

La ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que contiene funciones de dos o más variables independientes y algunas de sus derivadas con respecto a esas variables. Ejemplo:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

Solución y tipos de soluciones.

Una solución de una ecuación diferencial es toda relación entre las variables que no contenga derivadas ni diferenciales y que al remplazarla en la ED, la verifique en un intervalo de las variables, es decir, que la transforme en una identidad.

No todas las ED tienen solución. El tratamiento de la existencia y unicidad de la misma reviste cierta complejidad, por lo que no se abordará dicho problema en este libro. Como cualquier ecuación, las ED pueden o no tener solución, pero si la tienen, no será única.

Por ejemplo, la EDO lineal de primer orden admite la solución ya que la verifica. Notar que .

El lector puede probar que también lo es.

Hay tres tipos de soluciones para las ED:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

han sido solucionadas (aún).

Algunas se resuelven por “inspección” (ensayo y error), lo que consiste en “intuir” una solución, y luego confirmar si dicha solución imaginada verifica la ecuación.

Ecuación de Abel.

El ensayo y error se puede utilizar para resolver la EDO denominada ecuación de Abel: . Esta ecuación, frecuente en muchas ramas de la ciencia, expresa que la razón de cambio, , de una función es proporcional al valor de dicha la función para todo . No es difícil imaginar una función cuya derivada sea proporcional a sí misma: la función que califica es la exponencial ya que (la derivada es proporcional a la función).

Si además se conoce el valor inicial de la función buscada (esto es ) puede determinarse la única solución del problema. Así, . Luego, .

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

• 4) exactas

• 5) transformables en exactas

1.2.1. EDO de primer orden de variables separables

La ecuación se denomina de variables separables si se puede reescribir de la forma: . O en su forma equivalente: .

Para resolver la ecuación se integra miembro a miembro: . Si ambas integrales pueden ser resueltas, el problema estará solucionado. Notar que al resolver cada integral aparecerán en ambos miembros una constante de integración, las que se reunirán en una.

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1.2.2. EDO de primer orden homogénea.

La ecuación se denomina homogénea si se

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

1.2.3. EDO Lineal de primer orden.

Es aquélla que puede escribirse de la forma , donde y son funciones continuas sobre un intervalo dado. Por ejemplo: .

Para resolverla se utilizará un recurso muy utilizado en la resolución de ecuaciones diferenciales, que es el uso de un factor integrante. Pero para entender mejor la esencia del procedimiento se resolverá, a modo de ejemplo constructivo, la ecuación

La clave para resolverla será multiplicar m. a m. por la función (operación válida ya que ).

Si se observa con atención, los dos sumandos del primer miembro se puede expresar como la derivada del producto ya que . Así la ecuación se reescribe .

Integrando m. a m. se tiene:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

multiplicando m. a m. por

Al igual que en el ejemplo anterior se supone que el primer miembro es la derivada de un producto:

(*)

Entonces deberá cumplirse:

Luego, debe ser tal que convierta en igualdad:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

Nuevamente, la existencia de y está garantizada porque P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo dado, y, por lo tanto, integrables en él.

Resumiendo:

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1.2.4. EDO Exacta de primer orden.

Es aquélla que puede llevarse a la forma ó , siendo una función con derivadas de segundo orden continuas en una región D de R².

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

resolviendo el sistema:

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1.2.5. EDO de primer orden transformables en exactas.

Muchas ED se transforman en exactas usando un factor integrante. Se desarrollará ahora un método para concluir si una EDO de primer orden tiene o no un factor integrante del tipo o que la convierta en una EDO exacta, para la cual ya se desarrolló un método que la soluciona.

Condición de existencia del factor integrante :

Multiplicando m.a.m, por :

Usando el criterio de exactitud:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

Luego, el factor integrante es:

Condición de existencia del factor integrante :

Multiplicando m. a m. por :

Usando el criterio de exactitud:

Desarrollando las derivadas:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

Este teorema no asegura que todas las EDO de primer orden tengan factor integrante, ni tampoco permite encontrar todos los factores integrantes posibles de la misma. Sólo permite encontrar, suponiendo que los tenga, factores integrantes univariables.

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

1.3.2. Familias ortogonales.

Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es otra curva que cruza a cada una de las curvas de la familia de manera ortogonal. La colección de trayectorias ortogonales de una familia forma lo que se denomina familia ortogonal . Se dice que son familias mutuamente ortogonales. Por cada punto cuya abscisa pertenezca al dominio pasa una integrante de cada una de ellas. Las rectas tangentes a las mismas forman un ángulo recto. Luego, sus pendientes y verifican la relación . Entonces . Esto permite concluir que conocida la ecuación que representa una familia de curvas, su familia ortogonal estará representada por la ED .

EjemplosVer ejemplos Descargar pdf

Las familias ortogonales son muy utilizadas en ingeniería. Por

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

la EDO a resolver es:

En este caso se deberá probar que la corriente estará dada por:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

través del punto dado.

Simulador DaVinci5- Dada:
a) Dibuje el campo direccional.
b) Grafique algunas curvas solución, sin resolver la ecuación diferencial.
c) Resuelva la ecuación diferencial.
d) Dibuje las soluciones obtenidas en el inciso (c) y compárelas con las gráficas del (b).

6- Diga si la ecuación es homogénea:

7- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

muestre que satisface la ecuación diferencial .
b) Resuelva esta ecuación paradeterminar la altura del agua en función del tiempo , suponiendo que el tanque está lleno en el tiempo .
c) ¿Cuánto tiempo pasará para que el tanque se vacíe por completo?

Ecuaciones lineales de primer orden.

1- Determine si la ecuación diferencial es lineal:

2- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

b) Use el resultado anterior para resolver y verificar las ecuaciones:

6- En el circuito mostrado en la figura, una batería suministra una voltaje constante de , la inductancia es de , la resistencia es de , y además .
a) Encuentre .
b) Determine la corriente después de .

7- La figura muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz (fem), un capacitor con una capacitancia faradios , y un resistor con una resistencia de ohms . La caída de tensión a través del capacitor es , donde es

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

desempeño aumenta y se aproxima a su valor máximo, la razón de aprendizaje disminuye). En consecuencia: . Donde es una constante positiva. Resuelva esta ecuación diferencial lineal y dibuje la curva de aprendizaje.

9- Un objeto con una masa se lanza desde su estado de reposo y suponemos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto. Si es la distancia recorrida después de segundos, entonces la velocidad es y la aceleración es . Si es la aceleración debida a la gravedad, entonces la fuerza de atracción sobre un objeto es , donde es una constante positiva; además, la ley de Newton establece que
a) Resuelva esta ecuación diferencial para determinar la velocidad en el tiempo .
b) ¿Cuál es la velocidad límite?
c) Determine la distancia del objeto que cae, después de segundos.

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SECCIÓN I: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden

3- Resuelva el problema con valor inicial:

4- Muestre que la ecuación dada no es exacta, pero que se convierte en exacta cuando se multiplica por el factor integrante especificado. Después, resuelva la ecuación.

5- Encuentre un factor integrante y después resuelva la ecuación:

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SECCIÓN II

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal
de Orden Superior

SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

2. Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal (EDO L) de Orden Superior.

Es aquélla que se puede escribir de la siguiente forma:

Salvo casos especiales, los métodos de resolución de ED de orden n > 1 son complicados y en muchos de ellos no es posible obtener una solución exacta, debiéndose emplear métodos numéricos para alcanzar soluciones aproximadas. En este libro sólo se tratarán las denominadas con coeficientes constantes.

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de orden n con coeficientes constantes (EDO L cc).

Es aquélla que se puede escribir como:

En el caso particular que , la ecuación anterior se

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

Nota: Cuando un teorema de este texto carece del ícono no será demostrado debido a que escapa a las posibilidades de este curso.
El teorema 1 (que en realidad es válido cuando son funciones continuas en algún intervalo ) permite concluir que la solución general de será una ecuación que contiene n parámetros, los que luego se determinarán usando las n condiciones iniciales.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

2.2. EDO Lineal Homogénea con coeficientes constantes (EDO LH cc).

Combinando los teoremas anteriores es posible concluir que para encontrar la solución de una EDO LH de orden n es suficiente encontrar n funciones linealmente independientes. La solución general será constantes.

La ecuación se denomina ecuación característica, y a su primer miembro, polinomio característico.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

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El teorema 6 puede generalizarse para una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea de orden n con coeficientes constantes reales a través del teorema 7.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

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2.3. EDO de orden superior No Homogénea con coeficientes constantes (EDO L NH cc).

Recordar que no homogénea implica que f(x) no es la función nula. Se mostrará ahora que para determinar todas las

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

son constantes, luego, será válido en el intervalo donde f(x) sea continua. Este teorema permite centrar la atención en la búsqueda de una solución propia ; solución de ; dado que la solución de se determina fácilmente como se hizo en la subsección 2.2.

Notar que esta última solución aporta las n constantes necesarias para formar la solución general.

Existen dos métodos, cada uno con sus ventajas y desventajas. Para usar cualquiera de ellos la solución de la homogénea juega un papel importante.

1)Variación de los parámetros o de las constantes: tiene por ventaja su generalidad, es decir que se aplica a cualquier EDO L NH cc. Consiste en transformar la EDO en un sistema de n ecuaciones donde las n incógnitas son funciones. El obstáculo en su aplicación está asociado a cálculos tediosos.

2)Coeficientes a determinar: lleva corrientemente a cálculos

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

Usando una demostración similar al caso particular de una EDO de orden 2 hecho anteriormente puede probarse el siguiente teorema.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

de orden cualquiera. Notar que es un sistema lineal cuyas incógnitas son ; . Los coeficientes del sistema lineal son las funciones que generan el espacio solución de la EDO homogénea asociada y las primeras derivadas de cada una. El sistema puede ser escrito de la forma matricial como

Al determinante de la matriz M se lo denomina Wronskiano y puede mostrarse que es no nulo si y sólo si el conjunto formado por las n son linealmente independientes (lo que en el teorema 10 está garantizado por hipótesis). Esto conlleva que el sistema sea compatible determinado y permite encontrar las n funciones . Integrándolas se obtienen las buscadas.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

Se podrá usar sólo si tiene la forma: , siendo y ; polinomios de grado y respectivamente y y constantes.

Notar que puede tener distintas formas de acuerdo a los diferentes parámetros, muchas de ellas presentes frecuentemente en ecuaciones que modelan problemas reales de economía, ingeniería o biología. Por ejemplo: ; ; ; ; ; .

Se aplica para dichas funciones porque ellas tienen derivadas que conservan sus características al derivar, esto es, una combinación lineal de sus derivadas tendrá la misma forma. Este método consiste en plantear una solución que se “sospecha” factible. Se ilustrará el método con algunos ejemplos sobre cómo elegir dicha función, para luego formalizar la elección.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

3- Resuelva, si fuese posible, cada problema con valor en la frontera:

4- a) Demuestre que el problema con valor en la frontera , tiene sólo la solución trivial , para los casos y .

b) Para el caso , determine los valores de para los que este problema tiene una solución distinta de la trivial, y proporcione la solución correspondiente.

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

6- Escriba una solución propuesta para el método de los coeficientes indeterminados. No determine los coeficientes:

7- Resuelva la ecuación diferencial utilizando: (a) coeficientes indeterminados, y (b) variación de parámetros:

8- Resuelva la ecuación diferencial empleando el método de la variación de parámetros:

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SECCIÓN II: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Superior

12- Movimiento del proyectil en un medio viscoso: Encontrar la posición del proyectil de masa disparado desde con rapidez y ángulo sobre la horizontal , suponiendo que después de disparado, además de la fuerza gravitacional existe una de rozamiento que es proporcional y opuesta a la velocidad . Utilizar un SAC para comparar las trayectorias iguales a y con y sin rozamiento.

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SECCIÓN III

Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

3. Sistema lineal de EDO con coeficientes constantes.

Hasta el momento, se ha estudiado la solución de una EDO L (con o sin los datos de valores iniciales, dando por resultado una familia solución o una única solución, dependiendo del caso). Ahora se tratará el problema referido a la resolución de sistemas EDO lineales, esto es, encontrar las funciones que solucionan simultáneamente un conjunto de ED.

Normalmente esos sistemas aparecen en modelos que involucran determinar más de una función de la misma variable independiente, la que normalmente suele ser el tiempo. Por ejemplo, determinar la posición de un móvil sujeto a un campo de velocidad conocido, o determinar la concentración de un químico en distintos tanques comunicados entre sí. En esta sección se asumirá como variable independiente a y como funciones incógnita a ; (en general, ); aunque, para facilitar la notación, se omitirá indicar la dependencia de , nombrando las funciones incógnita como y . Hay métodos muy sencillos que permiten transformar

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

procedimiento resulta muy laborioso, lo que justifica indagar en un método más eficiente y sistemático para resolver sistemas similares a éste. Se tratará el mismo problema en la subsección 3.2. con el uso del álgebra lineal.

3.2. Resolución de SL EDO usando matriz exponencial: uso del Álgebra Lineal

3.2.1. Sistemas Homogéneos.

Suponer el sistema:

donde (aunque podrían ser funciones continuas, sólo se trabajará con constantes reales). El mismo se puede escribir de la forma matricial:

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

Matriz exponencial

Se comenzará por la definir conceptos necesarios del álgebra lineal. Sea la matriz cuadrada , se denomina matriz exponencial a la matriz:

Luego:

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

Este teorema da el procedimiento para encontrar la solución particular del sistema si se conoce la condición inicial .

El método se reduce a calcular la matriz , denominada matriz fundamental del sistema o solución matricial fundamental. La complejidad de la determinación depende de .

Por orden de complejidad, se tratarán los tres casos posibles:

• 1) es diagonal

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

Reescribiendo:

Notando que cada sumando de la serie tiene como primera matriz del producto a y última a , se extraen ellas como factores comunes:

Luego,

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

3.2.2. Sistemas No Homogéneos.

Se verá un método para resolver los SL EDO que respondan a la forma .

Esto significa que . Advierta la similitud del teorema 4 con el teorema 8 desarrollado en la sección II para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Al igual que en su similar, este teorema permite concluir que la solución general del sistema no homogéneo (1) puede expresarse como , denominando a la solución general del sistema homogéneo.

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

es solución
general de .

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

Por el teorema fundamental de las integrales definidas,. Luego:

Sacando factor común la matriz entre los dos primeros sumandos y considerando que la inversa de es :

Luego, verifica la ecuación .

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

Los ejemplos desarrollados en esta sección usando el álgebra lineal seguramente plantean interrogantes al lector. Uno de ellos es que las fórmulas demostradas requieren tediosos cálculos entre matrices, especialmente si éstas son de orden mayor que dos. Sin embargo ésta es muy útil ya que los cálculos pueden eludirse al traducirlos en un algoritmo sencillo de programar en un sistema algebraico de cómputos.

Otro interrogante es que dicha fórmula sólo permite resolver el problema si las condiciones iniciales con las que se cuenta valorizan todas las incógnitas (componentes de ) en el mismo valor de . Si se conocen los valores iniciales de las componentes (o incluso de una derivada) en distintos valores de la variable, el problema se resuelve determinando primero la solución general, para luego encontrar las constantes.

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

b) Resolver el sistema

3- Dado ; siendo ;.
a) Dar la matriz fundamental.
b) Resolver S.

4. Dado el sistema (necesita usar forma de Jordan)

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SECCIÓN III: Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con coeficientes constantes

7. Dado ; calcular:

a) La solución general.
b) La solución particular, siendo .

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SECCIÓN IV

Teoría Cualitativa

SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

4. Teoría Cualitativa.

En matemática es importante estudiar la estabilidad de las soluciones de ED, es decir, cómo difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales. Dicha estabilidad es muy importante en la ciencia que utilice la ED (por ejemplo, en la Física), ya que, en la realidad, las condiciones iniciales normalmente no se conocen con certeza (datos obtenidos con aparatos de poca precisión), y es importante que pequeños cambios de las mismas no generen comportamientos cualitativos diferentes en la solución encontrada.

Cuando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos es cualitativamente grande se dice que el sistema no presenta estabilidad, y, por supuesto, en ingeniería no se valora positivamente esta situación.

Debido a que toda ED de orden superior puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales (SED) de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ED puede reducirse al estudio de la estabilidad de los SED.

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

4.2. Punto de equilibrio de un sistema lineal. Estabilidad.

Sistemas autónomos y no autónomos.

Dado el sistema bidimensional , se dice que es autónomo si e no dependen explícitamente de (tiempo). Por ejemplo, es autónomo mientras que no lo es. Note que los sistemas lineales homogéneos son autónomos, mientras que los no homogéneos no, excepto que .

Plano de Fase y Órbita.

La solución de un SED de dos ecuaciones con dos funciones incógnita con condiciones iniciales dadas es una pareja de funciones . Para representar gráficamente la solución del sistema frecuentemente se utiliza la curva

111

SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

Note que en todos los casos la representación gráfica de la órbita es la misma, sea ésta o . Si se consideraran trayectorias de tres móviles, éstos recorrerían el mismo camino, pero encontrándose cada uno en distintos puntos del plano en un instante dado.

Por el contrario, la siguiente simulación muestra las órbitas del sistema no autónomo con las condiciones iniciales ; particularizando con , y .

Ver simulación del sistema no homogéneo

Note que las órbitas son distintas (más allá que conserven alguna regularidad en su forma).

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

en en un campo de velocidades , ésta permanecerá en reposo ya que la velocidad . Pero interesan las demás soluciones de (cuando las condiciones iniciales no son ).

Es por ello que a un punto crítico se lo denomina punto de equilibrio del sistema.

EjemplosVer ejemplos Descargar pdf

Estabilidad del punto crítico.

Se dará una definición no formal, pero intuitiva, de estabilidad del punto crítico en la que se hará referencia a “cercanía” entendiendo como tal "dentro de un círculo de radio finito".

115

SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

partícula se deposita en (use condiciones iniciales ; ), la misma permanecerá en reposo dado que este punto es un punto de equilibrio. Sin embargo, si se realiza un pequeño cambio en las condiciones iniciales, la misma seguirá una trayectoria cerrada, que estará dentro de un circunferencia de radio finito. Ello se debe a que este punto es de equilibrio estable. Si en el mismo campo se deposita la partícula en el otro punto crítico no se moverá, pero si se la desplaza (muy poquito), la misma seguirá una trayectoria que se alejará indefinidamente del punto. Note que las gráficas de series de tiempo muestran que tanto como son funciones acotadas en el primer caso, mientras que al menos una de ellas no lo es en el segundo caso. En el ejemplo N° 9 el único punto crítico es inestable, mientras que en el ejemplo N° 10 los infinitos puntos críticos son asintóticamente estables.

En lo que sigue, el estudio se centrará en dos cuestiones que constituyen una parte esencial del plano de fase de los sistemas lineales autónomos:

— La disposición de las trayectorias cerca del punto crítico .

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

parábolas.

Simulador DaVinci— negativos: “el móvil” se acerca al origen. El equilibrio es asintóticamente estable. Se puede apreciar este hecho ejecutando el ejemplo Nº 4 de la galería de "Sistemas Autónomos" del simulador DaVinci.

Simulador DaVinci— positivos: “el móvil” se aleja del origen, el equilibrio es inestable. Se puede apreciar este hecho ejecutando el ejemplo N° 5 de la galería de "Sistemas Autónomos" del simulador DaVinci.

Simulador DaVinci— : el punto crítico suele recibir el nombre de nodo impropio. El ejemplo N° 10 de la galería de "Sistemas Autónomos" del simulador DaVinci muestra el caso de autovalores iguales negativos; en tanto que el ejemplo N° 11, autovalores iguales positivos.

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

Centro

Simulador DaVinci El punto crítico es un centro cuando los autovalores son imaginarios puros. Las trayectorias son curvas cerradas que rodean al origen, que en general tienen forma de elipses, de modo que ninguna trayectoria tiende a él cuando ó Por ello, el punto crítico es estable, pero no asintóticamente estable. Ejecutar el ejemplo N° 3 de la galería de "Sistemas Autónomos".

Foco

El punto crítico es un foco cuando los autovalores son complejos conjugados y tienen parte real no nula. Las órbitas son curvas en forma de espiral que, conforme , pueden presentar dos situaciones: Simulador DaVinci

— : las órbitas se acercan al origen; luego, el equilibrio es asintóticamente estable. Ejecutar el ejemplo N° 1 de la galería de

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

Ejercitación propuesta

Simulador DaVinci1- Sea el campo de velocidades .

a) Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten determinar las trayectorias de flujo .
b) Probar que dicho sistema puede reducirse a ; .
c) Resolver la primera ecuación del inciso anterior.
d) Encontrar la trayectoria de una partícula que parte del punto .
e) En el gráfico se muestran tres trayectorias de flujo, una de ella es la buscada. Determinar la misma, justificando la respuesta.

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

Simulador DaVinci3- Si los autovalores de la matriz del sistema lineal de ecuaciones diferenciales son todos positivos, ¿es estable el punto crítico del sistema y la órbita una espiral? Justificar.

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

Simulador DaVinci7- Caracterizar el equilibrio del punto crítico y la órbita del sistema:

Simulador DaVinci8- Caracterizar el equilibrio del punto crítico y la órbita del sistema S:

Simulador DaVinci9- Hallar la solución general de los siguientes sistemas homogéneos, caracterizar el equilibrio del/los punto/s crítico/s e indicar la forma de la trayectoria solución (órbita):
a)
b)

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SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

g)

Simulador DaVinci10- Escribir la forma general de y caracterizar el equilibrio del punto crítico de:
a)
b)

Simulador DaVinci11- Una partícula se soltará en el punto en un campo estable de velocidad . ¿Existe/n valor/es de para el/los cual/es la trayectoria de la solución es una elipse? Justificar.

131

SECCIÓN IV: Teoría Cualitativa

se libera en el punto siga la trayectoria ? Justificar.

Simulador DaVinci 15- Dado el sistema ; ¿puede ser una de sus soluciones? Justificar.

133

Ejercitación complementaria

Ejercitación complementaria

1 - Para la ecuación diferencial ordinaria de primer orden probar que la sustitución la convierte en lineal de primer orden y hallar su solución.

2 - Probar que la sustitución transforma la ecuación en una ecuación lineal de primer orden.

3 - Hallar las curvas que verifiquen .

4 - Dada la ecuación diferencial .
a) Determinar la solución general.
b) Determinar la curva solución que contiene al punto

135

Ejercitación complementaria

9 - Dada la ecuación :
a) Determinar la familia de curvas solución y graficar.
b) Determinar y representar la curva de la familia que contiene al punto y la recta tangente en dicho punto.
c) Obtener una ecuación para la curva ortogonal a la familia que contiene al punto , la recta tangente en dicho punto y graficarlas en el mismo sistema de representación del inciso b.

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Ejercitación complementaria

familia) que se correspondan y sus respectivas rectas tangentes en un punto de intersección.

Interactivo de Familias Ortogonales 11 - Calcular las trayectorias ortogonales a la familia de elipses . Graficar.

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Ejercitación complementaria

13 - Si , demostrar que es solución de .

Simulador DaVinci14 - Resolver el sistema ; siendo .

Simulador DaVinci15 - Resolver el sistema ; siendo .

16 - Proponer las soluciones que permiten resolver la ecuación por el método coeficientes a determinar:
a)
b)

17 - Resolver la ecuación diferencial para:

141

Ejercitación complementaria

19- Para la ecuación diferencial , indicar la forma de la solución propia propuesta. Expresar (sin resolver) la forma de la solución general.

20- Resolver la ecuación diferencial para:
a)

21- Dada hallar la curva solución que pasa por el punto y donde .

143

Ejercitación complementaria

Interactivo de Familias Ortogonales26- Encontrar todas las funciones que verifiquen e . Usar el interactivo para graficar.

27- Dada la ecuación :
a) Proponer una solución propia para el caso en que .
b) Hallar la solución general para el caso en que .

28- Dado el sistema ; dar el o los valores de , si existen, para los cuales las curvas que lo solucionan son elípticas.

145

Apéndice

Apéndice.

Fórmula exponencial de un complejo.

Recordando el desarrollo en serie de McLaurin de , y :

Usando estas tres fórmulas es posible obtener la forma exponencial de un complejo de la siguiente manera:

Usando el desarrollo de se encontrará el de :

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Apéndice

(fórmula de Euler)

Finalmente, usando las propiedades de la potencia se llega a la forma exponencial de un complejo .

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Apéndice

Si no diagonalizable ; ; y .

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Apéndice

Tabla Resumen.

Solución general de sistemas lineales homogéneos 2x2 de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes:

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Epílogo

Epílogo

Las EDO abordadas en este libro son modelos simplificados de problemas que habitualmente aparecen en ingeniería. No obstante, constituyen un pequeño conjunto del vasto universo de las ecuaciones diferenciales. La mayoría de los modelos matemáticos de sistemas reales se caracterizan por su no linealidad debido a que así es el comportamiento de muchas cosas en la naturaleza. Pero para estudiar su estabilidad se recurre a su linealización, admitiendo que en este proceso se pierdan ciertas soluciones físicas. Es por ello que en la sección IV se desarrolló el concepto de estabilidad únicamente en relación a los sistemas dinámicos lineales.

Edward Lorenz, matemático y meteorólogo estadounidense, al estudiar el espacio de fases de sistemas dinámicos tridimensionales no lineales que modelan fenómenos de la atmósfera terrestre, descubrió en 1963 el llamado “atractor de Lorenz”. Con sus investigaciones sentó las bases de la Teoría del caos, rama de las matemáticas, la física y otras ciencias (biología, meteorología, economía, etc.) que trata ciertos tipos

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Epílogo

vez una posición inicial ligeramente diferente, se obtiene una trayectoria completamente distinta pasado cierto tiempo.

Aquellos alumnos inquietos e interesados en asomarse al mundo de los sistemas no lineales caóticos pueden ver la película “El Efecto Mariposa”, estrenada en 2004 y que, de la mano de los directores y guionistas Eric Bress y J. Mackye Gruber, muestra cómo un ínfimo cambio en la línea del tiempo del protagonista, por más trivial o insignificante que aparente, puede provocar un rumbo totalmente inesperado y un cambio radical en su vida.

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Epílogo

deslumbrar. En "El fin de la eternidad" presenta un mundo de viajes a través del espacio–tiempo en el que el futuro puede ser modificado; pero eso sí, bajo un meticuloso análisis que haga tender a cero la probabilidad de ocurrencia de hechos no deseados, previo a la efectiva ejecución del cambio mínimo necesario que refleje en la realidad modificada el resultado máximo esperado.

Retomando la idea de estos formidables autores del siglo XX, la serie de ciencia ficción estrenada en 2015, “El Ministerio del Tiempo”, de los directores Javier y Pablo Olivares, trata sobre una institución gubernamental secreta cuyos funcionarios vigilan las puertas de acceso hacia otras épocas para impedir que cualquier intruso viaje desde o hacia el pasado con la intención de modificar la Historia en beneficio propio. Pero los empleados de este ministerio no resisten la tentación de viajar a escondidas por asuntos personales. Por nimios que fuesen los hechos que viven cuando se transportan a todos les acarrean consecuencias... Serie digna de ver en Netflix!

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Bibliografía y Sitios Web

Bibliografía y Sitios Web.

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Bibliografía y Sitios Web

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